QUBIT

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0x01 定义：张量积

作者：

Metatron

在

一台量子计算机包含多个量子比特(qubit)

这些量子比特之间通过张量积(tensor product)的操作[1]把每个量子比特单独的状态 联合成一个量子系统的合并状态。

比如我们有两个qubit:

|ϕ⟩=(αβ)\ket{\phi}=\left(\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix}\right)
|ϕ′⟩=(α′β′)\ket{\phi\prime}=\left(\begin{matrix} \alpha\prime \\ \beta\prime \end{matrix}\right)

那么由这两个qubit组成的量子系统表示为:

|ϕ⟩⊗|ϕ′⟩=(αβ)⊗(α′β′)=(αα′αβ′βα′ββ′)\ket{\phi}\otimes\ket{\phi\prime}=\left(\begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix}\right)\otimes\left(\begin{matrix} \alpha\prime \\ \beta\prime \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} \alpha\alpha\prime \\ \alpha\beta\prime \\ \beta\alpha\prime \\ \beta\beta\prime \end{matrix}\right)

上方的 |ϕ⟩⊗|ϕ′⟩\ket{\phi}\otimes\ket{\phi\prime} 可以简写为 |ϕϕ′⟩\ket{\phi\phi\prime}

比如 |0⟩⊗|0⟩⊗|0⟩\ket{0}\otimes\ket{0}\otimes\ket{0} 可以简写为 |000⟩\ket{000}

再例如，有三个qubit的量子系统，每个量子比特状态为：

|γj⟩=αj|0⟩+βj|1⟩\ket{\gamma_j}=\alpha_j\ket{0} + \beta_j\ket{1}

其中 j = 1,2,3, 那么由这三个qubit组成的量子系统的合并状态表示为：

|γ1γ2γ3⟩=|γ1⟩⊗|γ2⟩⊗|γ3⟩\ket{\gamma_1\gamma_2\gamma_3}=\ket{\gamma_1}\otimes\ket{\gamma_2}\otimes\ket{\gamma_3}
=α1α2α3|000⟩+α1α2β3|001⟩+α1β2α3|010⟩+α1β2β3|011⟩=\alpha_1\alpha_2\alpha_3\ket{000}+\alpha_1\alpha_2\beta_3\ket{001}+\alpha_1\beta_2\alpha_3\ket{010} +\alpha_1\beta_2\beta_3\ket{011}
+β1α2α3|100⟩+β1α2β3|101⟩+β1β2α3|110⟩+β1β2β3|111⟩+\beta_1\alpha_2\alpha_3\ket{100}+\beta_1\alpha_2\beta_3\ket{101}+\beta_1\beta_2\alpha_3\ket{110}+\beta_1\beta_2\beta_3\ket{111}

由此可见，三个量子比特组成的系统可以表达8种状态(23种状态)的概率

➡️ 整个量子系统的状态的空间的维度，随量子比特的数量呈指数级增长

➡️ 所有测量结果的总概率为 1，即：

|α1α2α3|2+|α1α2β3|2+|α1β2α3|2+|α1β2β3|2+|\alpha_1\alpha_2\alpha_3|^2+|\alpha_1\alpha_2\beta_3|^2+|\alpha_1\beta_2\alpha_3|^2+|\alpha_1\beta_2\beta_3|^2+
|β1α2α3|2+|β1α2β3|2+|β1β2α3|2+|β1β2β3|2=1|\beta_1\alpha_2\alpha_3|^2+|\beta_1\alpha_2\beta_3|^2+|\beta_1\beta_2\alpha_3|^2+|\beta_1\beta_2\beta_3|^2 = 1

[1] 张量积操作: 是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。

例如：

[1231]⊗[0321]=[1⋅01⋅32⋅02⋅31⋅21⋅12⋅22⋅13⋅03⋅31⋅01⋅33⋅23⋅11⋅21⋅1]\left[\begin{array}{ccc} \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{green}{3} & \textcolor{brown}{1} \\ \end{array} \right] \otimes \left[\begin{array}{ccc} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right]= \left[\begin{array}{ccc} \textcolor{red}{1}\cdot0 & \textcolor{red}{1}\cdot3 & \textcolor{blue}{2}\cdot0 & \textcolor{blue}{2}\cdot3 \\ \textcolor{red}{1}\cdot2 & \textcolor{red}{1}\cdot1 & \textcolor{blue}{2}\cdot2 & \textcolor{blue}{2}\cdot1 \\ \textcolor{green}{3}\cdot0 & \textcolor{green}{3}\cdot3 & \textcolor{brown}{1}\cdot0 & \textcolor{brown}{1}\cdot3 \\ \textcolor{green}{3}\cdot2 & \textcolor{green}{3}\cdot1 & \textcolor{brown}{1}\cdot2 & \textcolor{brown}{1}\cdot1 \end{array} \right]

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